كيفية حساب مساحة متوازي الأضلاع مبني على المتجهات

على أي نواقل غير خطية وغير صفرية ، يمكن إنشاء متوازي الأضلاع. يتعاقد هذان المتجهان مع متوازي الأضلاع إذا قمت بدمج أصلهما في نقطة واحدة. قم بإنهاء جوانب الشكل.

دليل التعليمات

1

أوجد أطوال المتجهات إذا أعطيت إحداثياتها. دع ، على سبيل المثال ، يكون للمتجه A إحداثيات (a1 ، a2) في المستوى. ثم يكون طول المتجه A هو | A | = √ (a1² + a2²). وبالمثل ، نجد الوحدة النمطية للمتجه B: | B | = √ (b1² + b2²) ، حيث b1 و b2 هي إحداثيات المتجه B على المستوى.

2

تم العثور على منطقة متوازي الأضلاع بالصيغة S = | A | • | B | • sin (A ^ B) ، حيث A ^ B هي الزاوية بين المتجهات المحددة A و B. يمكن العثور على الجيب من خلال جيب التمام باستخدام هوية المثلثية الأساسية: sin²α + cos²α = 1. يمكن التعبير عن جيب التمام من حيث المنتج القياسي للمتجهات المكتوبة بإحداثيات.

3

يُشار إلى الناتج العددي للمتجه A بواسطة المتجه B بواسطة (A ، B). بحكم التعريف ، يساوي (A، B) = | A | • | B | • cos (A ^ B). وفي الإحداثيات ، تتم كتابة منتج العددية على النحو التالي: (أ ، ب) = a1 • b1 + a2 • b2. من هنا يمكننا التعبير عن جيب التمام للزاوية بين المتجهات: cos (A ^ B) = (A، B) / | A | • | B | = (a1 • b1 + a2 • b2) / √ (a1² + a2²) • √ (a2² + ب 2²). في البسط ، المنتج العددي ؛ في المقام ، أطوال المتجهات.

4

يمكننا الآن التعبير عن الجيب من الهوية المثلثية الرئيسية: sin²α = 1-cos²α ، sinα = ± √ (1-cos²α). إذا افترضنا أن الزاوية α بين المتجهات حادة ، يمكن التخلص من الطرح مع الجيب ، تاركًا فقط علامة الجمع ، لأن جيب الزاوية الحادة يمكن أن يكون موجبًا فقط (أو صفر بزاوية صفر ، ولكن هنا الزاوية غير صفرية ، يتم عرض هذا في الحالة عدم الخطية المتجهات).

5

نحتاج الآن إلى استبدال تعبير الإحداثيات الخاص بجيب التمام في صيغة الجيب. بعد ذلك ، يبقى فقط لكتابة النتيجة في صيغة منطقة متوازي الأضلاع. إذا تم كل ذلك وتم تبسيط التعبير العددي ، فتبين أن S = a1 • b2-a2 • b1. وبالتالي ، تم العثور على مساحة متوازي الأضلاع المبني على المتجهات A (a1، a2) و B (b1، b2) بواسطة الصيغة S = a1 • b2-a2 • b1.

6

التعبير الناتج هو محدد المصفوفة المكونة من إحداثيات المتجهات A و B: a1 a2b1 b2.

7

في الواقع ، من أجل الحصول على محدد لمصفوفة البعد الثاني ، نحتاج إلى مضاعفة عناصر القطر الرئيسي (a1 ، b2) وطرح هذا الناتج من عناصر القطر الجانبي (a2 ، b1).