كيف تجد مساحة الجزء الدائري

واحدة من المشاكل الهندسية الشائعة هي حساب مساحة جزء دائري - جزء من دائرة يحدها وتر وتر ووتر مقابل لقوس دائرة.

مساحة الجزء الدائري تساوي الفرق بين مساحة القطاع الدائري المقابل ومنطقة المثلث التي شكلها نصف قطر القطاع المقابل للقطاع والوتر المحيط بالقطاع.

مثال 1

طول الوتر الذي يتعاقد على دائرة يساوي قيمة أ. مقياس درجة القوس المقابل للوتر هو 60 درجة. أوجد مساحة الجزء الدائري.

الحل

المثلث الذي يتكون من نصف قطري والوتر هو متساوي الساقين ، لذا فإن الارتفاع المرسوم من أعلى الزاوية المركزية إلى جانب المثلث الذي يشكله الوتر سيكون أيضًا منصفًا للزاوية المركزية ، ويقطعه إلى النصف والوسط ، ويقطع الوتر إلى النصف. مع العلم أن جيب الزاوية في مثلث قائم الزاوية يساوي نسبة الجانب المقابل للوتر ، يمكننا حساب نصف القطر:

Sin 30 ° = a / 2: R = 1/2 ؛

R = أ.

يمكن حساب مساحة القطاع المقابل لزاوية معينة بالصيغة التالية:

Sc = πR² / 360 ° * 60 ° = πa² / 6

يتم حساب مساحة المثلث المقابل للقطاع على النحو التالي:

S ▲ = 1/2 * ah ، حيث h هو الارتفاع المرسوم من أعلى الزاوية المركزية إلى الوتر. بواسطة نظرية فيثاغورس ، h = √ (R²-a² / 4) = √3 * a / 2.

وبناءً عليه ، S ▲ = √3 / 4 * a².

مساحة المقطع ، محسوبة كـ Sseg = Sc - S ▲ ، تساوي:

Sseg = πa² / 6 - √3 / 4 * a²

باستبدال قيمة عددية بدلاً من a ، يمكنك بسهولة حساب القيمة العددية لمنطقة المقطع.

مثال 2

نصف قطر الدائرة يساوي أ. قياس درجة القوس المطابق للقطعة هو 60 درجة. أوجد مساحة الجزء الدائري.