كيفية حل أنظمة المعادلات

ليس من الصعب حل نظام المعادلات باستخدام الطرق الأساسية لحل أنظمة المعادلات الخطية: طريقة الاستبدال وطريقة الجمع.

دليل التعليمات

1

دعونا نفكر في طرق حل نظام المعادلات باستخدام مثال لنظام معادلتين خطيتين لهما قيمتين غير معروفتين. بشكل عام ، يتم كتابة هذا النظام على النحو التالي (على اليسار ، يتم دمج المعادلات مع قوس مجعد):

فأس + ب = ج

dx + ey = f ، أين

a و b و c و d و e و f هي المعاملات (أرقام محددة) و x و y ، كالعادة ، غير معروفتين. تسمى الأرقام أ ، ب ، ج ، د معاملات المجهول ، ويطلق على ج و و المصطلحات الحرة. تم العثور على حل مثل هذا النظام من المعادلات بطريقتين رئيسيتين.

حل نظام المعادلات بطريقة الاستبدال.

1. نأخذ المعادلة الأولى ونعبر عن أحد المجهول (x) من حيث المعاملات والمجهول الآخر (y):

س = (s-by) / أ

2. استبدل التعبير الناتج عن x في المعادلة الثانية:

d (c-by) / a + ey = f

3. بحل المعادلة الناتجة ، نجد التعبير عن y:

y = (af-cd) / (ae-bd)

4. استبدل التعبير الناتج ب y في التعبير ل x:

س = (ce-bf) / (ae-bd)

مثال: تحتاج إلى حل نظام المعادلات:

3 س -2 ص = 4

س + 3 ص = 5

أوجد قيمة x من المعادلة الأولى:

س = (2 س + 4) / 3

استبدل التعبير الناتج في المعادلة الثانية واحصل على معادلة بمتغير واحد (ص):

(2 ص + 4) / 3 + 3 ص = 5 ، من أين نحصل على:

ص = 1

الآن نقوم باستبدال قيمة y الموجودة في التعبير للمتغير x:

س = (2 * 1 + 4) / 3 = 2

الجواب: س = 2 ، ص = 1.

2

حل نظام المعادلات بطريقة الجمع (الطرح).

تقلل هذه الطريقة من مضاعفة كلا جانبي المعادلات بالأرقام (المعلمات) بحيث ، نتيجة لذلك ، تتزامن معاملات أحد المتغيرات (ربما مع العلامة المعاكسة).

في الحالة العامة ، يجب ضرب طرفي المعادلة الأولى في (-d) ، وكلا طرفي المعادلة الثانية في a. نتيجة لذلك ، نحصل على:

-adx-bdу = -cd

adx + aey = af

بإضافة المعادلات الناتجة نحصل على:

-bdu + aeu = -cd + af ،

من أين نحصل على التعبير عن المتغير y:

y = (af-cd) / (ae-bd) ،

باستبدال التعبير y في أي معادلة للنظام ، نحصل على:

ax + b (af-cd) / (ae-bd) = ج؟

من هذه المعادلة نجد المجهول الثاني:

س = (ce-bf) / (ae-bd)

مثال. حل نظام المعادلات عن طريق الجمع أو الطرح:

3 س -2 ص = 4

س + 3 ص = 5

اضرب المعادلة الأولى في (-1) والثانية في 3:

-3x + 2y = -4

3 س + 9 ص = 15

بإضافة المعجمتين (مصطلح بالمصطلح) نحصل على:

11 ص = 11

من أين نحصل على:

ص = 1

نستبدل القيمة التي تم الحصول عليها لـ y في أي من المعادلات ، على سبيل المثال ، في الثانية ، نحصل على:

3x + 9 = 15 ، من أين

س = 2

الجواب: س = 2 ، ص = 1.