كيفية حل المعادلات مع الجذور

في بعض الأحيان في المعادلات توجد علامة الجذر. يبدو للعديد من الطلاب أنه من الصعب جدًا حل هذه المعادلات "ذات الجذور" أو ، بشكل صحيح أكثر ، المعادلات غير العقلانية ، لكن الأمر ليس كذلك.

دليل التعليمات

1

على عكس الأنواع الأخرى من المعادلات ، على سبيل المثال ، أنظمة المعادلات التربيعية أو الخطية ، لا توجد خوارزمية قياسية لحل المعادلات مع الجذور ، أو بشكل أكثر دقة ، المعادلات غير العقلانية. في كل حالة معينة ، من الضروري تحديد أنسب طريقة حل بناءً على "مظهر" وخصائص المعادلة.

رفع أجزاء المعادلة بنفس الدرجة.

في معظم الأحيان ، لحل المعادلات ذات الجذور (المعادلات غير العقلانية) ، يتم استخدام رفع جانبي المعادلة بنفس الدرجة. كقاعدة ، إلى درجة مساوية لدرجة الجذر (مربعة للجذر التربيعي ، مكعب للجذر التكعيبي). يجب أن يوضع في الاعتبار أنه عند رفع الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلة إلى درجة متساوية ، قد يكون له جذور "إضافية". لذلك ، في هذه الحالة ، يجب على المرء التحقق من الجذور التي تم الحصول عليها عن طريق استبدالها في المعادلة. يجب إيلاء اهتمام خاص في حل المعادلات ذات الجذور المربعة (الزوجية) إلى نطاق القيم المقبولة للمتغير (ODZ). في بعض الأحيان ، يكون تقدير ODL وحده كافياً لحل المعادلة أو تبسيطها بشكل ملحوظ.

مثال. حل المعادلة:

√ (5 × -16) = × 2

نقوم بتربيع جانبي المعادلة:

(√ (5x-16)) ² = (x-2) ² ، حيث نحصل على:

5 × 16 = ײ-4x + 4

h²-4x + 4-5x + 16 = 0

ح² -9 س + 20 = 0

من خلال حل المعادلة التربيعية ، نجد جذورها:

س = (9 ± √ (81-4 ​​* 1 * 20)) / (2 * 1)

س = (9 ± 1) / 2

س 1 = 4 ، س 2 = 5

باستبدال كل من الجذور الموجودة في المعادلة الأصلية ، نحصل على المساواة الصحيحة. لذلك ، يمثل كلا الرقمين حلول المعادلة.

2

طريقة إدخال متغير جديد.

في بعض الأحيان يكون من الملائم أكثر العثور على جذور "المعادلة مع الجذور" (المعادلات غير العقلانية) من خلال إدخال متغيرات جديدة. في الواقع ، يتم اختزال جوهر هذه الطريقة ببساطة إلى سجل أكثر إحكاما للحل ، أي بدلاً من كتابة تعبير ضخم في كل مرة ، يتم استبداله بأسطورة.

مثال. حل المعادلة: 2x + √x-3 = 0

يمكنك حل هذه المعادلة عن طريق تربيع كلا الجانبين. ومع ذلك ، فإن الحسابات نفسها ستبدو مرهقة إلى حد ما. مع إدخال متغير جديد ، ستصبح عملية اتخاذ القرار أكثر أناقة:

نقدم متغير جديد: y = √ x

ثم نحصل على المعادلة التربيعية العادية:

2y² + y-3 = 0 ، مع المتغير y.

لحل المعادلة الناتجة ، نجد جذرين:

y1 = 1 و y2 = -3 / 2 ،

باستبدال الجذور الموجودة في التعبير للمتغير الجديد (ص) نحصل على:

√ س = 1 و √ س = -3 / 2.

نظرًا لأن قيمة الجذر التربيعي لا يمكن أن تكون رقمًا سالبًا (إذا لم تلمس مساحة الأعداد المركبة) ، فإننا نحصل على الحل الوحيد:

س = 1.

حل الجذر التربيعي